福师22秋《实变函数》在线作业一【标准答案】 作者:奥鹏周老师 分类: 福建师范大学 发布时间: 2022-12-23 14:36 作业答案 联系QQ:3326650399 微信:cs80188 微信二维码 福师《实变函数》在线作业一-0002 试卷总分:100 得分:100 一、判别题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.共同收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. 2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. 3.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 4.测度为零的集称为零测集. 5.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f\'∈L1[a,b]. 6.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集. 7.对恣意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有肯定接连性. 8.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛. 9.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 10.若f∈L1[a,b],则简直一切的x归于[a,b]均是g的L点. 11.对R^n中恣意点集E，E\E\'必为可测集. 12.积分的四条根本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是根本性质的逻辑推论。 13.增函数f在[a,b]上至多有可数个连续点，且只能有榜首类连续点. 14.积分的引入分为三个递进的过程：非负简略函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. 15.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)归于BV。 16.f∈BV，则f有“规范分化式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其间p(x),n(x)别离为f的正变差和负变差. 17.三大积分收敛定理包含Levi定理，Fatou定理和Lebesgue操控收敛定理。 18.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均归于AC。 19.f可积的充要条件是f+和f-都可积. 20.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均归于BV。 21.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集 22.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. 23.f∈BV，则f简直处处可微，且f\'∈L1[a,b]. 24.接连函数和单调函数都是有界变差函数. 25.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上简直处处接连. 26.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上肯定接连且在[a,b]上简直处处为零. 27.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g归于BV。 28.不管Riemann积分仍是Lebesgue积分，只需|f|可积，则f必可积. 29.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 30.若A交B等于空集，则A可测时必B可测. 31.零测度集的任何子集都是可测集. 32.设f为[a,b]上增函数，则存在分化f=g+h，其间g是上一个接连增函数，h是f的跳动函数. 33.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. 34.f为[a,b]上减函数，则f\'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . 35.调集A可测等价于该调集的特征函数X_A可测 36.当f在(0,+∞)上共同接连且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0. 37.若f_n与g_n别离测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. 二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 38.下列关系式中不建立的是（ ） A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 39.有限个可数集的乘积集是（ ） A.有限集 B.可数集 C.有接连统势的集 D.基数为2^c的集 40.fn->f,a.e.,则 A.fn依测度收敛于f B.fn简直共同收敛于f C.fn共同收敛于f D.|fn|->|f|,a.e. 41.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. A.mE=0 B.0 C.mE=+∞ D.0<=mE<=+∞ 42.若A为R^n中一疏集，则（ ） A.Ac为稠集 B.A为开集 C.A为孤立点集 D.A不齐备 三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分) 43.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则 A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2 B.若E1包括于E2,mE1<=mE2 C.若E1包括于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1 44.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 A.广义R可积 B.不是广义R可积 C.L可积 D.不是L可积 45.若f不可以测，g可测，则下列正确的是（ ） A.f+g不可以测 B.fg不可以测 C.g^2可测 D.|g|可测 46.若f∈BV[a,b]，则（ ） A.f为有界函数 B.Vax(f)为增函数 C.对恣意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f) D.f至多有可数个榜首类连续点 47.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ） A.简直处处可微 B.L可积 C.f\'可积 D.区间[a,b]上积分值∫f\'(x)dx=f(b)-f(a) 48.设E为R^n中的一个不可以测集，则其特征函数是 A.是L可测函数 B.不是L可测函数 C.有界函数 D.接连函数 49.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ） A.m(A) B.m(A)<=m(B) C.m(B\A)=m(A) D.m(B)=m(A)+m(B\A) 50.若f,g是有界变差函数，则（ ） A.f+g有界变差函数 B.fg有界变差函数 C.f/g有界变差函数 D.max(f,g)有界变差函数 作业答案 联系QQ:3326650399 微信:cs80188 微信二维码
试卷总分:100 得分:100
一、判别题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.共同收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
3.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
4.测度为零的集称为零测集.
5.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f\'∈L1[a,b].
6.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集.
7.对恣意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有肯定接连性.
8.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
9.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx
10.若f∈L1[a,b],则简直一切的x归于[a,b]均是g的L点.
11.对R^n中恣意点集E，E\E\'必为可测集.
12.积分的四条根本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是根本性质的逻辑推论。
13.增函数f在[a,b]上至多有可数个连续点，且只能有榜首类连续点.
14.积分的引入分为三个递进的过程：非负简略函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
15.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)归于BV。
16.f∈BV，则f有“规范分化式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其间p(x),n(x)别离为f的正变差和负变差.
17.三大积分收敛定理包含Levi定理，Fatou定理和Lebesgue操控收敛定理。
18.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均归于AC。
19.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
20.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均归于BV。
21.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
22.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
23.f∈BV，则f简直处处可微，且f\'∈L1[a,b].
24.接连函数和单调函数都是有界变差函数.
25.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上简直处处接连.
26.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上肯定接连且在[a,b]上简直处处为零.
27.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g归于BV。
28.不管Riemann积分仍是Lebesgue积分，只需|f|可积，则f必可积.
29.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx
30.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
31.零测度集的任何子集都是可测集.
32.设f为[a,b]上增函数，则存在分化f=g+h，其间g是上一个接连增函数，h是f的跳动函数.
33.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
34.f为[a,b]上减函数，则f\'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
35.调集A可测等价于该调集的特征函数X_A可测
36.当f在(0,+∞)上共同接连且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
37.若f_n与g_n别离测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.下列关系式中不建立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
39.有限个可数集的乘积集是（ ）
A.有限集
B.可数集
C.有接连统势的集
D.基数为2^c的集
40.fn->f,a.e.,则
A.fn依测度收敛于f
B.fn简直共同收敛于f
C.fn共同收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
41.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
42.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A.Ac为稠集
B.A为开集
C.A为孤立点集
D.A不齐备
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B.若E1包括于E2,mE1<=mE2
C.若E1包括于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
44.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A.广义R可积
B.不是广义R可积
C.L可积
D.不是L可积
45.若f不可以测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可以测
B.fg不可以测
C.g^2可测
D.|g|可测
46.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对恣意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个榜首类连续点
47.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A.简直处处可微
B.L可积
C.f\'可积
D.区间[a,b]上积分值∫f\'(x)dx=f(b)-f(a)
48.设E为R^n中的一个不可以测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.接连函数
49.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A.m(A)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
50.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
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