福师23秋《实变函数》在线作业二【标准答案】 作者:奥鹏周老师 分类: 福建师范大学 发布时间: 2023-11-11 12:10 作业答案 联系QQ:3326650399 微信:cs80188 微信二维码 福师《实变函数》在线作业二-0003 试卷总分:100 得分:100 一、判别题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.f∈BV，则f有“规范分化式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其间p(x),n(x)别离为f的正变差和负变差. 2.增函数f在[a,b]上简直处处可微。 3.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上简直处处接连. 4.f为[a,b]上减函数，则f\'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . 5.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，并且两种积分值持平. 7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. 8.若对恣意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. 9.可数集的测度必为零，反之也建立. 10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。 11.三大积分收敛定理包含Levi定理，Fatou定理和Lebesgue操控收敛定理。 12.对恣意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有肯定接连性. 13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. 14.三大积分收敛定理是积分论的中间成果。 15.若f_n测度收敛于f，g接连，则g(f_n)也测度收敛于g(f). 16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. 18.f可积的必要条件:f简直处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 19.共同收敛的肯定接连函数序列的极限函数也是肯定接连函数. 20.L积分下Newton-leibniz公式建立的充要条件是被积函数为肯定接连函数。 21.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集. 22.对R^n中恣意点集E，E\E\'必为可测集. 23.若f∈C1[a,b]（接连可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b]. 24.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何接连函数简直处处持平． 25.f可积的充要条件:|f|可积。 26.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 27.f∈BV，则f至多有可数个连续点，并且只能有榜首类连续点. 28.若f可测，则|f|可测，反之也建立. 29.若f有界变差且g满意Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差. 30.设f为[a,b]上增函数，则存在分化f=g+h，其间g是上一个接连增函数，h是f的跳动函数. 31.有限掩盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开掩盖，则能够从U中取出有限子掩盖. 32.f∈BV，则f简直处处可微，且f\'∈L1[a,b]. 33.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均归于AC。 34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 35.L积分比R积分更广泛，且具有优胜性。 36.若f∈BV,则f有界。 37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上简直处处接连. 二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 38.若f∈L(X),则 A.f在X上简直处处接连 B.存在g∈L(X)使得|f|<=g C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e. 39.开集减去闭集其差集是（ ） A.闭集 B.开集 C.非开非闭集 D.既开既闭集 40.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 A.|A∪C|=|B∪D| B.|A∩C|=|B∩D| C.|A\C|=|B\D| D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D| 41.fn->f,a.e.,则 A.fn依测度收敛于f B.fn简直共同收敛于f C.fn共同收敛于f D.|fn|->|f|,a.e. 42.下列关系式中不建立的是（ ） A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分) 43.设E为R^n中的一个不可以测集，则其特征函数是 A.是L可测函数 B.不是L可测函数 C.有界函数 D.接连函数 44.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ） A.f可测 B.|f|可积 C.f^2可积 D.|f|<∞.a.e. 45.在R上界说f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ） A.f在R上处处不接连 B.f在R上为可测函数 C.f简直处处接连 D.f不是可测函数 46.若0<=g<=f且f可积，则（ ） A.g可积 B.g可测 C.g<∞，a.e. D.当g可测时g必可积 47.设fn与gn在X上别离测度收敛于f与g，则（ ） A.fn测度收敛于|f| B.afn+bgn测度收敛于af+bg C.(fn)^2测度收敛于f^2 D.fngn测度收敛于fg 48.A，B是两个调集，则下列正确的是（ ） A.f^-1(f（A）)=A B.f^-1(f（A）)包括A C.f(f^-1（A）)=A D.f(A\B)包括f(A)\f(B) 49.若f不可以测，g可测，则下列正确的是（ ） A.f+g不可以测 B.fg不可以测 C.g^2可测 D.|g|可测 50.若f,g是有界变差函数，则（ ） A.f+g有界变差函数 B.fg有界变差函数 C.f/g有界变差函数 D.max(f,g)有界变差函数 作业答案 联系QQ:3326650399 微信:cs80188 微信二维码
试卷总分:100 得分:100
一、判别题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f∈BV，则f有“规范分化式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其间p(x),n(x)别离为f的正变差和负变差.
2.增函数f在[a,b]上简直处处可微。
3.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上简直处处接连.
4.f为[a,b]上减函数，则f\'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
5.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx
6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，并且两种积分值持平.
7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
8.若对恣意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
9.可数集的测度必为零，反之也建立.
10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
11.三大积分收敛定理包含Levi定理，Fatou定理和Lebesgue操控收敛定理。
12.对恣意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有肯定接连性.
13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
14.三大积分收敛定理是积分论的中间成果。
15.若f_n测度收敛于f，g接连，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
18.f可积的必要条件:f简直处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
19.共同收敛的肯定接连函数序列的极限函数也是肯定接连函数.
20.L积分下Newton-leibniz公式建立的充要条件是被积函数为肯定接连函数。
21.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集.
22.对R^n中恣意点集E，E\E\'必为可测集.
23.若f∈C1[a,b]（接连可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
24.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何接连函数简直处处持平．
25.f可积的充要条件:|f|可积。
26.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx
27.f∈BV，则f至多有可数个连续点，并且只能有榜首类连续点.
28.若f可测，则|f|可测，反之也建立.
29.若f有界变差且g满意Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
30.设f为[a,b]上增函数，则存在分化f=g+h，其间g是上一个接连增函数，h是f的跳动函数.
31.有限掩盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开掩盖，则能够从U中取出有限子掩盖.
32.f∈BV，则f简直处处可微，且f\'∈L1[a,b].
33.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均归于AC。
34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
35.L积分比R积分更广泛，且具有优胜性。
36.若f∈BV,则f有界。
37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上简直处处接连.
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.若f∈L(X),则
A.f在X上简直处处接连
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
39.开集减去闭集其差集是（ ）
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集
40.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
41.fn->f,a.e.,则
A.fn依测度收敛于f
B.fn简直共同收敛于f
C.fn共同收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
42.下列关系式中不建立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.设E为R^n中的一个不可以测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.接连函数
44.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A.f可测
B.|f|可积
C.f^2可积
D.|f|<∞.a.e.
45.在R上界说f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不接连
B.f在R上为可测函数
C.f简直处处接连
D.f不是可测函数
46.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A.g可积
B.g可测
C.g<∞，a.e.
D.当g可测时g必可积
47.设fn与gn在X上别离测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
48.A，B是两个调集，则下列正确的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包括A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包括f(A)\f(B)
49.若f不可以测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可以测
B.fg不可以测
C.g^2可测
D.|g|可测
50.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
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